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玻色-爱因斯坦分布

时间:2020-07-24  阅读:963  点赞次数:973  
玻色-愛因斯坦分布

在量子统计的世界里,物理学家们对于一群不会交互作用 (non-interacting)、不可区分(indistinguishable)的粒子,如何在不连续的能阶(discrete energy states)上分布,有着浓厚的兴趣。到目前为止,他们共发现了两种可能的分布,其中一种是费米-狄拉克分布(Fermi-Dirac distribution)、另外一种就是这边要探讨的玻色-爱因斯坦分布 (Bose-Einstein istribution),至于也相当着名的马克士威-波兹曼分布(Maxwell-Boltzmann distribution),则可视为这两种分布在古典物理中的近似描述。

玻色-爱因斯坦分布

图一$$~~~$$右边为费米-狄拉克分布(Fermi-Dirac Distribution)、左边为玻色-爱因斯坦分布 (Bose-Einstein Distribution)。右边的分布因为受限于包立不相容原理(Psuli Exclusion Principle),每个能阶最多只能容纳两颗自旋(Spin)方向相反的粒子。左边的分布就没有此项限制,因此允许多个粒子放置在相同的能阶上。请注意,该图粒子的颜色,只是代表着不同的自旋方向,不是可区分(Distinguishable)的粒子,有关可区分粒子的马克士威-波兹曼分布,请参考其他的资料。

玻色-爱因斯坦分布,允许所有非交互作用、不可区分的粒子可以处在相同的能阶上[图一],也就是没有包立不相容原理(Pauli exclusion principle)的限制。这种按照玻色-爱因斯坦分布的粒子,我们称作玻色子(Boson),最早是由一位印度物理学家,玻色(Satyendra Nath Bose)于1925年所发现的,后来被爱因斯坦(Albert Einstein)认同,两人也一同合作,将此概念做了延伸。

玻色-爱因斯坦分布

图二$$~~~$$玻色-爱因斯坦的机率分布形式

玻色-爱因斯坦的分布公式,可以简单的从大正则系综(grand canonical ensemble)来推导,大正则系综内的系统(system)不仅可以和外部环境(reservoir)交换能量,还可以交换粒子,但系综内所有系统的能量总和以及粒子数总和都是固定的,而且系综内的系统总数也是固定不变的。最后的推导结果以及各项的物理意义如[图二]。该公式也可以用正则系综(Canonical Ensemble)来推导,但过程有着些许的複杂,如有兴趣请参考[文献一]。

因为氦-4 原子是波色子,且在极低温时容易展现出量子特性,所以玻色-爱因斯坦分布可以用来当作是描述低温氦-4 种种奇妙特性(如超流体特性)的最粗略近似。此外,光子也满足玻色-爱因斯坦分布。

玻色-爱因斯坦分布不仅仅是一种机率分布,同时也可以应用在其他领域上,像是资讯检索(Information Retrieval)。你可能不相信,不过在格拉斯哥大学(University of Glasgow)的Terrier Project[文献二]裏头,他们发现关键字和特定文章间有着重要的关係,不只是随机的连结,而该指标就是玻色-爱因斯坦统计。

许多的科学研究,往往能够在其他的领域中,扮演着意想不到的脚色,近期也越来越流行跨领域的学术研究,这正是所谓的科学无分界!


参考文献

[文献一] The B-E Distribution
http://hep.ph.liv.ac.uk/~hock/Teaching/StatisticalPhysics-Part5-Handout.pdf

[文献二] Terrier Project
http://terrier.org/docs/v2.2.1/dfr_description.html

[文献三] Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page

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